Решения предложенных задач присылайте до 30 ноября 2014 года включительно на адрес obr@1c.ru
Авторы правильных решений будут отмечены призами и приглашены на конференцию 4 декабря 2014 года.
1. Симметричное лицо, или «полуголовый» (для 5-8 классов)
Это задание не столько математическое, сколько на рисование. Нарисуйте половину лица и отразите ее относительно вертикальной оси, чтобы получилось полное лицо. Если двигать элементы первой половинки, то эти гримасы будут повторяться и второй половинкой; выражение лица будет изменяться. Выполните как можно более интересный, «живой» портрет. Пример – на рисунке 1.
2. Перспектива (для 5-11 классов)
Это тоже задание на рисование, точнее, на черчение – для тех, кто знаком с понятием перспективы. Начертите какую-нибудь сцену из геометрических фигур в перспективе. Сцена должна быть «живой», т.е. допускать изменение размеров и формы составляющих ее предметов, их передвижение, причем перспектива при изменениях должна по-прежнему соблюдаться. Пример – домик на рисунке 2: в этой модели можно изменять размеры домика, его окна и двери, а также точку обзора.
3. Мультик (для 5-8 классов)
Это задание похоже на предыдущие, только в картинку нужно вставить кнопку анимации, нажав на которую мы приведем фигурки в движение. Например: работающий ветряк, паровозик, у которого крутятся колеса, боксер, совершающий выпады, птица, махающая крыльями, – включайте воображение! Узнать, как делается анимация, можно в «Руководстве пользователя» или «Обучающем пособии» к программе (см. меню «Справка» в самом конструкторе или раздел «Помощь» в папке вызова программы).
4. Правильные мозаики (для 5-11 классов)
Представьте, что у Вас есть запас плиток в форме правильных многоугольников – треугольники, квадраты, правильные шестиугольники и т.д. Стороны всех плиток одинаковы, так что их можно приставлять друг к другу по полной стороне. Такими плитками нужно выложить пол, причем полученное замощение должно быть правильным в том смысле, что набор плиток вокруг любой вершины узора должен быть одинаковым и располагаться они должны в одном и том же порядке (см. пример на рисунке 3). Постарайтесь найти и построить как можно больше таких мозаик. А самым большим любителям математики дополнительное задание: попробуйте найти все такие мозаики и доказать, что других не бывает.
5. Орнамент (для 5-11 классов)
Одной из любимых тем творчества знаменитого голландского художника-графика М.К.Эшера были периодические орнаменты из разных живых существ – птиц, рыб, ящериц и т.п. (рис. 4). Такие орнаменты можно строить с помощью «Математического конструктора», используя инструменты для выполнения преобразований: параллельных переносов, поворотов, осевых симметрий (рис. 5). Придумайте и нарисуйте собственные периодические узоры. «Периодичность» означает, что узор должен совмещаться сам с собой при сдвигах вдоль по крайней мере двух различных направлений.
6. Задача о кратчайшей сети (для 5-11 классов)
Эта задание более «математическое».
Даны несколько точек (населенных пунктов) на плоскости. Требуется соединить их сетью дорог так, чтобы суммарная длина всех дорог была наименьшей. При этом можно создавать дополнительные узлы сети (перекрестки) отдельно от данных точек, такие как, например, точка O на этом рисунке (данные точки – A, B, C):
С помощью «Математического конструктора» можно найти сумму длин дорог и подобрать экспериментально такое положение точки O, при котором сумма минимальна. А может быть, дополнительный узел только удлиняет сеть или, наоборот, выгоднее устроить несколько дополнительных узлов? Сформулируйте гипотезу о минимальной сети дорог и попробуйте ее доказать. Рассмотрите также случаи, когда данные точки – вершины квадрата, правильного пятиугольника, правильного шестиугольника, произвольного выпуклого четырёхугольника.
7. «Математический конструктор» и ЕГЭ: С2 (для 5-11 классов)
С помощью «Математического конструктора» можно строить вращающиеся модели трехмерных фигур. Для этого можно использовать шаблон Стереометрия (меню Листы/Использовать шаблон) или готовые модели куба, пирамиды и других фигур из «Коллекции моделей». Выберите несколько заданий типа С2 из вариантов ЕГЭ и проиллюстрируйте их условия и решения.
8. «Математический конструктор» и ЕГЭ: С5 (для 5-11 классов)
В «Математическом конструктора» легко построить график функции fa(x), зависящей от параметра a, и проследить за его изменением при вариации параметра. Также можно строить кривые, задаваемые уравнениями вида F(x; a) = 0. Обе эти возможности можно использовать для иллюстрации и решения алгебраических задач с параметрами, в частности заданий ЕГЭ типа С5. Подберите и проиллюстрируйте несколько таких задач из вариантов ЕГЭ. Объясните, как ваши модели помогают решить эти задачи.
9. Электростатика (для 5-11 классов)
В некоторых точках плоскости расположены электрические заряды. Построить модель, показывающую траекторию движения пробного заряда, помещенного в произвольную точку, под действием данных зарядов. (Вам может пригодиться инструмент рисования следов.) На основе этой модели можно попробовать сделать игру: данные заряды прячутся и надо определить (с какой-то точностью) их расположение.
10. Черепахи (для 5-11 классов)
Имеется N занумерованных точек («черепах»). По команде каждая черепаха начинает с одинаковой скоростью ползти по направлению к следующей по порядку (1-я ко 2-й, 2-я к 3 й, …, N-я к 1-й). Смоделировать движение черепах и нарисовать их траектории. Вариации: скорости черепах могут различаться.
Для выполнения следующих заданий (а возможно и заданий 9, 10) полезно познакомиться с азами программирования на языке JavaScript, встроенном в «Математический конструктор».
11. Спортивные игры (для 5-11 классов)
1) Попасть баскетбольным мячом в корзину. Можно менять угол вылета и начальную скорость (в заданных пределах). Учесть, что сверху есть потолок спортзала.
2) Перекинуть мяч через волейбольную сетку и попасть в незащищённую область площадки противника. Можно менять ординату точки вылета («удар в прыжке»), угол вылета и начальную скорость (в заданных пределах). Учесть, что сверху есть потолок спортзала. Площадка здесь изображается горизонтальным отрезком, а сетка – вертикальным отрезком, расположенным на некоторой высоте над площадкой.
3) Усложнения п.2: а) чтобы удар не отразил противник, в момент подлёта к площадке мяч должен иметь скорость больше некоторого V0; б) попробуйте построить более реалистическую модель для игры с площадкой-прямоугольником: бить можно из любой точки одной его половины, а попадать надо в заданный участок другой половины.
12. Игра «Убегающая точка» (для 5-11 классов)
На чертеже дана свободная точка. При наведении на неё мыши, она отскакивает в случайное положение. Если успеть щёлкнуть по ней мышью – исчезает. Цель игры – «раздавить точку».
Сделать несколько уровней игры: чем выше уровень, тем «мельче» точка. На еще более высоких уровнях точка остается в пределах заданной области или лежит на данной кривой, имеется не одна, а несколько точек, ведущих себя аналогично.
13. Игра «Нефтяные скважины» (для 5-11 классов)
На чертеже спрятана точка («месторождение нефти»). На экране высвечивается расстояние от курсора до этой точки. Нужно найти невидимое месторождение. Если при щелчке мышью нам удалось в него попасть, оно должно появиться (или «политься нефть»). Учитывается количество пробуренных скважин (щелчков). Можно учитывать ещё суммарное расстояние, «пройденное» курсором. Разрешается использовать инструменты геометрических построений. Усложнение: есть две невидимые точки и на экране высвечивается суммарное расстояние до этих точек. Цель – та же: открыть все месторождения. Как вариант, вместо расстояний можно использовать какие-то еще функции от точки (точек).
14. Игра «Сокровище и сторожевые собаки» (для 5-11 классов)
1) Есть несколько точек («сторожевых собак»), которые охраняют сокровище (прямоугольник или другую фигуру на плоскости). Еще одна точка, которую можно перетаскивать, изображает Али-Бабу. По команде «Пуск» все «собаки» устремляются за Али-Бабой. Нужно провести его к сокровищу так, чтобы его «не покусали» собаки.
2) Каждая собака сидит на цепи (т.е. может передвигаться только внутри своего круга).
3) У некоторых собак конец цепь может скользить по натянутому тросу (отрезку).
В пунктах 2 и 3 нужно дать инструменты для построения, чтобы проложить между областями досягаемости «собак» путь, по которому можно пробраться к сокровищу, не боясь, что тебя покусают.