Дубровский В. Н., Булычев В. А., Лебедева Н. А.

МАТЕМАТИКА

5–11 классы

Коллекция интерактивных моделей

Электронное учебное пособие
Практикум для учащихся общеобразовательных организаций
Модели созданы в программе «1С:Математический конструктор 8»

Выпуск 8.0

Москва
«1С-Паблишинг»
2019

Состав коллекции подбирался так, чтобы затронуть по возможности более широкий спектр тем – с акцентом на те из них, в которых использование интерактивных моделей в образовательных целях представляется наиболее эффективным. В то же время, разработчики стремились представить всевозможные типы учебных материалов, используемые на разных стадиях учебного процесса и при разных видах учебной деятельности. С точки зрения методики, предпочтение отдавалось материалам, которые можно использовать в рамках существующей системы преподавания по стандартным программам.

Многие модели состоят из нескольких частей (листов) – иногда это логические шаги одного задания, иногда – самостоятельные примеры или упражнения. Модели, методически связанные друг с другом, объединяются в учебные модули. Всего в коллекции 489 интерактивных листов в 213 моделях, объединенных в 166 учебных модулей. Все модули снабжены подробными указаниями, в которых описывается структура модуля, порядок работы с ним, рекомендуемый способ использования (работа под руководством учителя, самостоятельная работа в классе, самостоятельная работа дома) и приводятся методические рекомендации (вплоть до конспектов уроков).

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ по использованию
интерактивных моделей Коллекции в учебном процессе

Изучайте другие модели и методические материалы, созданные на основе «Математического конструктора».
Скачайте бесплатно «Математический конструктор» для установки на свой компьютер.

Присоединяйтесь к бесплатным интерактивным семинарам на наших страницах в социальных сетях.
Знакомьтесь с успешным опытом обучения с использованием динамических моделей.

«Интерактивная математика»  •  Facebook «Интерактивная математика»  •  ВКонтакте

1. АРИФМЕТИКА

НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Запись чисел

Системы счисления

1-01    

Цифровые шестеренки

Модель-инструмент, иллюстрирующая позиционные системы счисления и перевод чисел из одних систем в другие.

Сравнение натуральных чисел

1-02    

Отгадай число

Игра на отыскание неизвестного числа по результатам его сравнения с задаваемыми числами.

Задание 1
Поиск числа из диапазона 1..20.
Задание 2
Поиск числа из диапазона 1..100.

1-03    

Зашифрованный порядок

Игра на разгадывание кода, шифрующего однозначные числа, по информации об их порядке на числовой оси.

Задача 1
Для кодирования используются греческие буквы.
Задача 2
Для кодирования используются картинки.
Как работает код
Демонстрация механизма кодирования.

Арифметические действия

Сложение и вычитание натуральных чисел

1-04    

Разбиение на две равные суммы

Игра-тренинг на сложение натуральных чисел.

1-05    

Зашифрованное сложение

Игра на разгадывание кода, шифрующего однозначные числа,
по информации об их суммах, данных также в закодированном виде.

Задание 1
Для кодирования используются греческие буквы.
Задание 2
Для кодирования используются картинки.
Как работает код
Демонстрация механизма кодирования.

Умножение и деление натуральных чисел

1-06    

Зашифрованное умножение

Игра на разгадывание кода, шифрующего однозначные числа,
по информации об их произведениях, данных также в закодированном виде.

Задание 1
Для кодирования используются греческие буквы.
Задание 2
Для кодирования используются картинки.
Как работает код
Демонстрация механизма кодирования.

Решение текстовых задач арифметическим способом

1-07    

Суммы в картинках

Две версии задачи на отгадывание чисел (с двузначными и трёхзначными числами).

Задание 1
Задание с двузначными числами.
Задание 2
Задание с трёхзначными числами.
Задание 3
Задание с трёхзначными числами.

Делимость

Делители и кратные

1-08    

Делители числа

Наглядное представление о делителях числа и о разложении числа в произведение двух сомножителей.

Задание 1
Сколькими способами кошка может допрыгать до мышки?
Задание 2
Когда это число способов будет минимально?
Задание 3
Мышка убегает от кошки.

1-09    

Общие кратные

Сезам, откройся! Занимательное задание, знакомящее с понятием общего кратного и наименьшего общего кратного.

Замок с одним диском
Числа, кратные данному.
Замок с двумя дисками
Общие кратные двух чисел.
Замок с тремя дисками
Общие кратные трёх чисел.

ДРОБИ

Обыкновенные дроби

Деление целого на части. Доли

1-10    

Деления пополам

Последовательно отмечая середины отрезков, указать положение данной дроби на отрезке [0; 1].

Задача 1
Отметить на отрезке [0;1] точку k/8 (k разыгрывается случайным образом).
Задача 2
Отметить на отрезке [0;1] точку k/16 (k разыгрывается случайным образом).
Задача 3
Отметить на отрезке [0;1] точку k/32 (k разыгрывается случайным образом).
Задача 4
Отметить числитель дроби k/32 по её расположению на числовой прямой (k разыгрывается случайным образом).

Десятичные дроби

Запись десятичных дробей

1-11-1    

Составление десятичной записи числа (до первого знака)

Модель, иллюстрирующая составление десятичной записи числа (до первого знака).

Демонстрация
Задание
Указать положение заданной десятичной дроби на числовой прямой (для дроби с одним десятичным знаком).

1-11-2    

Составление десятичной записи числа (с несколькими знаками)

Модель с заданием по представлению чисел десятичными дробями.

Демонстрация
Задание
Указать положение заданной десятичной дроби на числовой прямой с точностью до трёх знаков.

1-12    

Охота за числом

Составление десятичной записи числа изменением разрядов на ±1. Поиск оптимального способа.

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Арифметические действия
с положительными и отрицательными числами

Сложение и вычитание

1-13    

Сложение чисел на числовой оси

Тренажер и презентация на сложение двух целых чисел с помощью числовой прямой.

Умножение и деление

1-14    

Умножение как результат сложений

Создание наглядного образа произведения целых чисел как результата многократного сложения.

Задача 1
Скачки кенгуру.
Задача 2
Пачки тетрадей.

1-15    

Геометрический смысл умножения

Иллюстрация геометрического смысла умножения на примере двух геометрических понятий:
площади прямоугольника и масштабирования.

Произведение как площадь прямоугольника
Модель с вопросами к учащимся.
Произведение как масштабирование
Модель с вопросами к учащимся.

1-16    

Свойства умножения и деления

Изучение свойств умножения и деления чисел.

Задание 1
Модель для самостоятельного исследования свойств умножения с помощью числовой прямой.
Задание 2
Модель для самостоятельного исследования свойств деления с помощью числовой прямой.
Задание 3
Определить положение нуля и единицы на числовой прямой,
наблюдая за поведением произведения при изменении сомножителей.
Задание 4
Определить положение нуля и единицы на числовой прямой,
наблюдая за поведением частного при изменении делимого и делителя.

2. АЛГЕБРА

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ

Преобразование выражений

Составление алгебраических выражений и вычисление их значений

2-01    

Порядок выполнения операций

Занимательное задание на зависимость результата вычисления от порядка выполнения операций.

2-02    

Выражения с двумя переменными. Как работает вычислитель

Изучение алгебраического выражения с двумя переменными по поведению точки на числовой оси,
задаваемой его значением.

Задача 1
Двигая точки A и B на числовой прямой и наблюдая за поведением произведения AB,
нужно определить положение 0 и 1.
Задача 2
Двигая точки A и B на числовой прямой и наблюдая за поведением AB,
нужно определить положение 1/2 и 1/8 (если отмечена точка 1/4).
Задача 3
Двигая точки A и B на числовой прямой и наблюдая за поведением точки C,
нужно найти формулу, связывающую C с A и B.
Задача 4
Двигая точки A и B на числовой прямой и наблюдая за поведением точки C,
нужно найти формулу, связывающую C с A и B.

Преобразование буквенных выражений на основе свойств арифметических операций

2-03    

Равенство буквенных выражений

Лаборатория для изучения свойств арифметических действий –
коммутативности и ассоциативности – и порядка их выполнения.

Задание 1
Исследовательское задание с вопросами к учащимся.
Задание 2
Исследовательское задание с вопросами к учащимся.
Задание 3
Исследовательское задание с вопросами к учащимся.
Задание 4
Исследовательское задание с вопросами к учащимся.

2-04    

Площадь фигур на клетчатой бумаге

Задания на составление выражений для площадей фигур на клетчатой бумаге.

Прямоугольник с выступом
Составить из заданных длин алгебраическое выражение для площади фигуры.
Объединение прямоугольников
Составить из заданных длин алгебраическое выражение для площади фигуры.

УРАВНЕНИЯ

Уравнения с одной переменной

Линейные уравнения. Графическая интерпретация

2-05    

Решение линейного уравнения

Тренажер на отработку навыков решения линейных уравнений.

Системы уравнений

Системы линейных уравнений

2-06    

Графическая интерпретация системы линейных уравнений

Тренажер на отработку навыков решения систем линейных уравнений.

Текстовые задачи

Задачи на равномерное движение

2-07    

Чтение графика движения

Занимательное задание на представление кусочно-равномерного движения графиком.

Задание 1
Выбрать описание движения, которое соответствует заданному графику.
Задание 2
Придумать своё описание по заданному графику.
Задание 3
Построить график по заданному описанию движения.
Задание 4
Установить соответствие между тремя заданными графиками и описаниями движений.

3. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

К началу страницы

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Понятие функции

Различные способы задания функций. Основные свойства функций

3-01    

Динографики

Представление функции с помощью двух связанных подвижных точек на параллельных осях – «динографика».
Определение функций по их динографикам.
Изучение поведения квадратичной функции в зависимости от знаков ее коэффициентов и дискриминанта.

Определение динографика
Модель для знакомства с понятием динографика (можно задавать любую функцию f (x)).
Динографики и формулы
Установить соответствие между пятью динографиками и формулами функций.
Диноквадры
Найти знаки коэффициентов и дискриминанта квадратичной функции по её динографику
(5 задач и тренажёр со случайной функцией).

ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ

Элементарные функции

Линейная функция

Игры с наклоном

Игры-тренинги на определение углового коэффициента прямой.

3-02-1    

Игры с наклоном (1). Определи наклон

Оценить на глаз угловой коэффициент прямой (прямая разыгрывается случайно).

3-02-2    

Игры с наклоном (2). Проведи прямую

Провести прямую с заданным угловым коэффициентом (коэффициент разыгрывается случайно).

3-02-3    

Игры с наклоном (3). Числа и прямые

Установить соответствие между четырьмя прямыми и их угловыми коэффициентами (разыгрываются случайно).

3-02-4    

Игры с наклоном (4). Дротики

Нужно попасть в мишень «дротиком», задавая угловой коэффициент прямой,
вдоль которой нужно его метнуть из начала координат (мишень располагается случайно).

3-03    

График линейной функции в стандартной форме

Модель для работы с графиком линейной функции.

3-04    

Уравнение прямой в отрезках

Тренажер для нахождения уравнения прямой в отрезках.

Квадратичная функция

3-05    

График квадратичной функции

Тренажер для изучения зависимости параболы от коэффициентов соответствующей квадратичной функции.

3-06    

Фазовая плоскость квадратного трёхчлена

Представление квадратичной функции точкой на координатной плоскости.
Условия на функции и соответствующие множества на плоскости.

Задание 1
Найти и отметить на фазовой плоскости множество значений
коэффициентов квадратного трёхчлена с заданными свойствами.
Задание 2
Найти и отметить на фазовой плоскости множество значений
коэффициентов квадратного трёхчлена с заданными свойствами.

3-07    

Квадратичная функция как произведение линейных

Требуется подобрать такую линейную функцию в пару к данной,
чтобы выполнялось заданное условие на их произведение.

Задание 1
Получить из двух линейных функций квадратичную функцию с заданными свойствами.
Задание 2
Получить из двух линейных функций квадратичную функцию с заданными свойствами.
Задание 3
Получить из двух линейных функций квадратичную функцию с заданными свойствами.
Задание 4
Получить из двух линейных функций квадратичную функцию с заданными свойствами.
Задание 5
Получить из двух линейных функций квадратичную функцию с заданными свойствами.

Степенная функция

3-08    

Графики степенных функций с разными показателями

Лаборатория для изучения графика степенной функции.

Дробно-линейная функция

3-09    

График дробно-линейной функции

Лаборатория для изучения графика дробно-линейной функции.

4. ПЛАНИМЕТРИЯ

К началу страницы

НАГЛЯДНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Наглядное представление о плоских фигурах

Прямые, ломаные, многоугольники

Перпендикулярность. Прямоугольник

Первое знакомство с перпендикулярностью прямых и прямоугольником: определения, построение, простейшие свойства.

4-01-1    

Перпендикулярные прямые

Построение перпендикулярной прямой инструментом «Перпендикуляр».

4-01-2    

Прямоугольник

Построение прямоугольника с использованием инструмента «Перпендикуляр».

4-01-3    

Различные способы построения прямоугольника

Четыре задачи на построение прямоугольника

Задание 1
Построение прямоугольника на заданной стороне.
Задание 2
Построение прямоугольника с заданной диагональю.
Задание 3
Построение прямоугольника с вершинами на данной окружности.
Задание 4
Построение прямоугольника на заданной стороне с вершиной на заданной прямой.

4-01-4    

Равные отрезки в прямоугольнике

Задача-исследование на равенство противоположных сторон и равенство диагоналей в прямоугольнике.

4-01-5    

Периметр и площадь прямоугольника

Задача-исследование на вычисление периметра и площади прямоугольника.

4-01-6    

Четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями. Часы

Построение четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями.

Задание 1
Задача на построение четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями.
Задание 2
Занимательное задание «Нарисуй стрелки на часах».

Параллельность. Параллелограмм

Первое знакомство с параллельностью прямых и параллелограммом: определения, построение, простейшие свойства.

4-02-1    

Параллельные прямые

Построение параллельной прямой инструментом «Параллельная».

4-02-2    

Параллелограмм

Построение параллелограмма с использованием инструмента «Параллельная».

4-02-3    

Различные способы построения параллелограмма

Четыре задачи на построение параллелограмма.

Задание 1
Построение параллелограмма на заданной стороне.
Задание 2
Построение параллелограмма с заданной диагональю.
Задание 3
Построение параллелограмма с вершинами на двух заданных концентрических окружностях.
Задание 4
Построение параллелограмма на заданной стороне с вершиной на заданной прямой.

4-02-4    

Стороны и диагонали параллелограмма.

Исследование свойств сторон и диагоналей параллелограмма

Задание 1
Задача-исследование на равенство противоположных сторон параллелограмма.
Задание 2
Задача-исследование на свойство диагоналей параллелограмма (точка пересечения делит их пополам).

4-02-5    

Углы параллелограмма

Исследование свойств углов параллелограмма.

Задание 1
Задача-исследование на равенство противоположных углов параллелограмма.
Задание 2
Задача-исследование на сумму соседних углов параллелограмма.

4-03    

Эксперимент «Построение треугольника» (неравенство треугольника)

Исследование возможности построения треугольника по трем сторонам.

4-04    

Снежинка Коха

Построение простейшего фрактала – снежинки Коха.

Задание
Задание на построение снежинки Коха.
Готовая модель
Демонстрация готовой снежинки Коха.

Окружность

Определение окружности. «Живые картинки» с окружностями

Первое знакомство с окружностью и кругом: определения, различные способы их построения, связанные с ними величины, их использование для создания картинок.

4-05-1    

Окружность и радиус окружности

Построение окружности инструментом «Окружность по центру и радиусу».

4-05-2    

Различные способы построения окружности

Построение окружности разными инструментами.

Задание 1
Построение окружности инструментом «Окружность по центру и точке».
Задание 2
Построение окружности инструментом «Окружность по центру и радиусу».

4-05-3    

Окружность и круг

Исследование зависимости длины окружности и площади круга от радиуса.

Задание 1
Задание на измерение длины окружности и площади круга.
Задание 2
Задание на исследование зависимости длины окружности и площади круга от радиуса.

4-05-4    

Чебурашка

Занимательное задание на рисование Чебурашки из окружностей, дуг и кругов.

4-05-5    

Телефон

Занимательное задание «Диск телефона».

Задание
Задание «Нарисуй диск телефона».
Решение
Готовая динамическая модель диска телефона.

Симметрия

Осевая симметрия

Осевая симметрия и ее использование в построениях

Определение осевой симметрии и три практических задания на ее использование.

4-06-1    

Определение осевой симметрии

Исследование свойств осевой симметрии через построения.

Определение и построение
Задача на различные способы построения симметричных точек.
Найдите оси
Построение осей симметрии заданных фигур.

4-06-2    

Веер (построение с использованием осевой симметрии)

Задание на построение динамической модели веера с помощью осевой симметрии.

4-06-3    

Часы

Задание на построение динамической модели часов с помощью осевой симметрии.

Длина, углы, площадь

Углы

Угол. Биссектриса. Измерение углов

Первое знакомство с понятиями угла, его меры, биссектрисы.

4-07-1    

Измерение углов (1)

Задания на градусную меру прямого угла и его долей.

Задание 1
Определение градусной меры углов на глаз.
Задание 2
Определение градусной меры углов на глаз (доли прямого угла и их кратные).

4-07-2    

Измерение углов (2)

Измерение углов специальным инструментом.

Задание 1
Найти меру угла с помощью инструмента «Измерить угол» и проследить за её изменением.
Задание 2
Измерить заданные углы и проверить полученные результаты.

4-07-3    

Измерение углов (3)

Измерение углов с помощью модели транспортира.

Задание 1
Найти градусную меру угла с помощью модели транспортира и проверить полученный результат.
Задание 2
Найти градусные меры двух углов с помощью модели транспортира и проверить полученные результаты.

4-07-4    

Биссектриса угла

Определение биссектрисы угла.

Задание 1
Построить биссектрису угла с помощью инструмента «Биссектриса».
Задание 2
Измерить углы, на которые заданный угол делится своей биссектрисой.

4-07-5    

Веер (построение с использованием биссектрис)

Построение динамической модели веера с использованием биссектрисы.

4-07-6    

Штурвал

Построение динамической модели штурвала с использованием биссектрисы.

Площадь

Площадь на клетчатой бумаге. Сравнение площадей

Плотная упаковка прямоугольников на клетчатой бумаге.

4-08-1    

Площадь на клетчатой бумаге. Сравнение площадей (1)

Найти плотную упаковку заданного набора прямоугольников (с подсказкой и проверкой).

4-08-2    

Площадь на клетчатой бумаге. Сравнение площадей (2)

Найти плотную упаковку заданного набора прямоугольников (с подсказкой и проверкой).

4-08-3    

Площадь на клетчатой бумаге. Сравнение площадей (3)

Найти плотную упаковку заданного набора прямоугольников (с подсказкой и проверкой).

4-08-4    

Площадь на клетчатой бумаге. Сравнение площадей (4)

Найти плотную упаковку заданного набора прямоугольников (с подсказкой и проверкой).

4-08-5    

Площадь на клетчатой бумаге. Сравнение площадей (5)

Найти плотную упаковку заданного набора прямоугольников (с подсказкой и проверкой).

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ

Треугольник

Знакомство с треугольником

4-09    

Виды треугольников

Демонстрация различных видов треугольников.

Классификация треугольников
Демонстрация пяти видов треугольников.
Задание
Задание на построение треугольников разных видов.

Замечательные точки и линии в треугольнике

Динамическая демонстрация замечательных точек и линий в треугольнике.

4-10-1    

Замечательные точки и линии в треугольнике (1)

Медианы, высоты, описанная окружность, прямая Эйлера и окружность девяти точек.

Прямая Эйлера и окружность девяти точек
Динамическая демонстрация медиан, высот, описанной окружности, прямой Эйлера и окружности девяти точек.
Задание 1
Задача на построение прямой Эйлера.
Задание 2
Задача на построение окружности девяти точек.

4-10-2    

Замечательные точки и линии в треугольнике (2)

Биссектрисы, вписанная окружность, вневписанные окружности, точка Жергонна и точка Нагеля.

Точки Жергонна и Нагеля
Динамическая демонстрация биссектрис, вписанной окружности, вневписанных окружностей,
точки Жергонна и точки Нагеля.
Задание 1
Задача на построение точки Жергонна.
Задание 2
Задача на построение точки Нагеля.

Построение треугольников по трем элементам

4-11    

Треугольник по двум сторонам и высоте

Построение циркулем и линейкой треугольника по двум сторонам и высоте к третьей стороне.

4-12    

Треугольник по двум сторонам и биссектрисе

Построение циркулем и линейкой треугольника по двум сторонам и биссектрисе из их общей вершины.

4-13    

Треугольник по двум сторонам и медиане к третьей стороне

Построение циркулем и линейкой треугольника по двум сторонам и медиане к третьей стороне.

4-14    

Треугольник по двум сторонам и медиане к одной из них

Построение циркулем и линейкой треугольника по двум сторонам и медиане к одной из них.

4-15    

Треугольник по стороне, высоте и медиане

Построение циркулем и линейкой треугольника по стороне и проведённым к ней высоте и медиане.

4-16    

Треугольник по стороне и двум высотам

Построение циркулем и линейкой треугольника по стороне и двум высотам, проведённым к другим сторонам.

Четырёхугольник

4-17    

Распутывание отрезков

Исследовательская модель к задаче на доказательство.

Многоугольники

4-18    

Выпуклые и невыпуклые многоугольники

Интерактивные задания на понятие выпуклого многоугольника.

Задание 1
Задание на расположение вершин выпуклого многоугольника.
Задание 2
Задание на превращение невыпуклых многоугольников в выпуклые.

4-19    

Пересечение и объединение многоугольников

Исследование числа сторон у пересечения и объединения двух многоугольников с данным числом сторон.

Треугольник и четырёхугольник
Задача на исследование объединения и пересечения треугольника и четырёхугольника.
Два четырёхугольника
Задача на исследование объединения и пересечения двух четырёхугольников.
Результаты
Итоговая таблица результатов исследования (с проверкой).
Для экспериментов
Лист для собственных построений и экспериментов.

Виды четырёхугольников

4-20    

Определения различных видов четырехугольников

Знакомство с видами четырехугольников.

Виды четырёхугольников
Демонстрация разных видов четырехугольников.
Для экспериментов
Лист для собственных построений и экспериментов.

Соотношения между разными видами четырёхугольников

Изучение особенностей разных видов четырёхугольников и соотношений между ними с использованием подвижных моделей.

4-21    

Такие разные квадраты

Подвижный четырёхугольник изначально выглядит как квадрат.
Перемещая его вершины, нужно определить его подлинный вид.

Задание 1
Выяснить, к какому виду следует отнести данный подвижный четырёхугольник.
Задание 2
Выяснить, к какому виду следует отнести данный подвижный четырёхугольник.
Задание 3
Выяснить, к какому виду следует отнести данный подвижный четырёхугольник.
Справка по видам четырехугольников
Динамические модели всех видов четырёхугольников. Справка к заданиям.

4-22    

Диаграмма Венна для классов четырёхугольников

Модель для изучения соотношений между различными классами четырёхугольников.

Виды четырехугольников
Динамические модели восьми видов четырёхугольников.
Задание
Задание на составление диаграммы Эйлера-Венна для классов четырёхугольников (с проверкой).

4-23    

Задача о параллелограмме и прямоугольнике

Задача на доказательство о четырёхугольнике, ограниченном биссектрисами углов параллелограмма.

4-24    

Ромб, у которого диагональ равна стороне

Задача на построение одним циркулем и вычисление (три версии).

Задание
Задача с проверкой построения и ответов.
Задание с подсказками
Версия задания с указанием.
Решение
Версия задания с анализом и пошаговым решением.

Построение четырёхугольников

4-25    

Параллелограмм по двум сторонам и углу

Три версии задачи на построение параллелограмма по сторонам и углу между ними.

Задание
Задача с проверкой построения.
Задание с подсказками
Версия задания с указанием.
Решение
Версия задания с анализом и пошаговым решением.

4-26    

Параллелограмм по диагоналям и углу между ними

Три версии задачи на построение параллелограмма по диагоналям и углу между ними.

Задание
Задача с проверкой построения.
Задание с подсказками
Версия задания с указанием.
Решение
Версия задания с анализом и пошаговым решением.

4-27    

Параллелограмм по двум сторонам и диагонали

Три версии задачи на построение параллелограмма по диагонали и сторонам.

Задание
Задача с проверкой построения.
Задание с подсказками
Версия задания с указанием.
Решение
Версия задания с анализом и пошаговым решением.

4-28    

Параллелограмм по стороне и диагоналям

Две версии задачи на построение параллелограмма по диагоналям и стороне.

Задание
Задача с проверкой построения.
Решение
Пошаговое решение задачи.

4-29    

Параллелограмм по трем вершинам

Две версии задачи на построение параллелограмма, три вершины которого даны.

Задание
Задача с проверкой построения.
Решение
Пошаговое решение задачи.

4-30    

Построение прямоугольника

Две версии задачи на построение прямоугольника по двум сторонам.

Задание
Задача с проверкой построения.
Решение
Пошаговое решение задачи.

4-31    

Равнобедренная трапеция по основанию, углу и боковой стороне

Три версии задачи на построение равнобедренной трапеции по основанию, углу и боковой стороне.

Задание
Задача с проверкой построения.
Задание с подсказками
Версия задания с указанием.
Решение
Версия задания с анализом и пошаговым решением.

4-32    

Равнобедренная трапеция по основанию, боковой стороне и диагонали

Три версии задачи на построение равнобедренной трапеции по основанию, боковой стороне и диагонали.

Задание
Задача с проверкой построения.
Задание с подсказками
Версия задания с указанием.
Решение
Версия задания с анализом и пошаговым решением.

4-33    

Трапеция по основаниям и боковым сторонам

Две версии задачи на построение трапеции по основаниям и боковым сторонам.

Задание
Задача с проверкой построения.
Решение
Пошаговое решение задачи.

4-34    

Трапеция по основаниям и углам

Две версии задачи на построение трапеции по основаниям и углам.

Задание
Задача с проверкой построения.
Решение
Пошаговое решение задачи.

4-35    

Трапеция по основаниям и диагоналям

Две версии задачи на построение трапеции по основаниям и диагоналям.

Задание
Задача с проверкой построения.
Решение
Пошаговое решение задачи.

4-36    

Трапеция по основанию, углу и отношению сторон

Пошаговое построение трапеции с доказательством.

Свойства средних линий четырёхугольника

4-37    

Центр масс четырёхугольника

Свойство точки пересечения средних линий четырёхугольника (задача на доказательство с подсказкой).

4-38    

Применение свойств центра масс четырёхугольника

Определение центра масс четырёхугольника и применение его свойств в задаче на доказательство.

Задача на доказательство
Динамическая модель для демонстрации утверждений теоремы.
Подсказка
Динамическая модель-подсказка к доказательству.

4-39    

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции

Задание на нахождение длины отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции.

4-40    

Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции

Задание на нахождение длины отрезка, соединяющего середины оснований трапеции.

Задачи с вариантами

4-41    

Задача с биссектрисами параллелограмма

Задача на построение и вычисление, использующая свойства параллелограмма и биссектрис его углов.

Построение
Задача на построение и вычисление.
Эксперимент
Модель для исследования числа решений.

4-42    

Площадь трапеции с известными диагоналями и высотой

Задача на вычисление с построением, использующая теорему Пифагора,
свойства трапеции, формулы для площади трапеции и треугольника.

Задание
Задача на построение и вычисление.
Решение
Модель для исследования числа решений.

Подобие

Практические задачи

4-43    

Измерение высоты дерева по длине тени

Практическое задание: измерение высоты дерева сравнением длин теней.

4-44    

Измерение высоты башни с помощью зеркальца

Практическое задание: измерение высоты с помощью зеркальца.

4-45    

Определение расстояния до корабля

Практическое задание: определение расстояния до корабля.

Окружность и круг

Теорема о вписанном угле

4-46    

Свойство и признак вписанного четырёхугольника

Экспериментальное исследование необходимости и достаточности свойства вписанного четырехугольника.

Свойство
Динамическая модель для исследования свойства вписанного четырёхугольника.
Признак
Динамическая модель для исследования полноты доказательства признака вписанного четырёхугольника.

Построения и геометрические места точек

Экономные построения

4-47    

Перпендикуляр к прямой из точки вне её

Построение перпендикуляра к данной прямой из данной вне нее точки с минимальным числом проведенных линий.

Задание
Задача с проверкой построения и подсчетом числа линий.
Решение
Пошаговое решение.

4-48    

Перпендикуляр к прямой из точки на ней

Построение перпендикуляра к данной прямой из данной на ней точки с минимальным числом проведенных линий.

Задание
Задача с проверкой построения и подсчетом числа линий.
Решение
Пошаговое решение.

4-49    

Параллельная прямая

Построение прямой, параллельной к данной, с минимальным числом проведенных линий.

Задание
Задача с проверкой построения и подсчетом числа линий.
Решение
Пошаговое решение.

Построение симметричных точек

4-50    

Осевая симметрия по двум точкам оси

Построение точки, симметричной данной точке относительно данной прямой AB, инструментом «Окружность».

Задание
Задание с проверкой построения.
Решение
Задание с анализом и пошаговым решением.

4-51    

Осевая симметрия по двум симметричным точкам

Построение точки, симметричной данной относительно оси симметрии двух других данных точек.

4-52    

Осевая симметрия по двум симметричным точкам инструментом «Окружность»

Построение одним инструментом «Окружность» точки, симметричной данной
относительно оси симметрии двух других данных точек.

Задание
Задание с проверкой построения.
Решение
Задание с указанием и пошаговым решением.

4-53    

Осевая симметрия по двум симметричным точкам одним циркулем

Построение одним циркулем точки, симметричной данной относительно оси симметрии двух других данных точек.

Задание
Задача с проверкой построения.
Решение
Пошаговое решение.

4-54    

Центральная симметрия с помощью инструмента «Параллель»

Построение точки, симметричной данной относительно середины данного отрезка.

Задание
Задание с проверкой построения.
Решение
Задание с анализом и пошаговым решением.

Метод геометрических мест

4-55    

Точки, равноудаленные от трех прямых

Две версии задачи на построение точек, равноудалённых от трёх прямых.

Задание
Задание с проверкой построения.
Задание с подсказками
Задание с указанием.

Построение алгебраических выражений

4-56    

Квадратный корень из суммы квадратов

Две версии задачи на построение отрезка, равного квадратному корню из суммы квадратов длин двух данных отрезков.

Задание
Задание с проверкой.
Решение
Демонстрация решения.

4-57    

Квадратный корень из разности квадратов

Две версии задачи на построение отрезка, равного квадратному корню из разности квадратов длин двух данных отрезков.

Задание
Задание с проверкой.
Решение
Демонстрация решения.

4-58    

Среднее геометрическое

Экономное построение циркулем и линейкой среднего геометрического двух отрезков.

Задание
Задание с проверкой и учетом числа проведенных линий.
Решение
Пошаговое решение.

4-59    

Деление отрезка в данном отношении

Две версии задачи на деление отрезка в данном отношении.

Задание
Задание с проверкой.
Решение
Пошаговое решение.

Нахождение геометрических мест точек

4-60    

Геометрическое место середин отрезков с концами на данных отрезках

Три версии задачи на построение геометрического места середин отрезков с концами на двух данных отрезках.

Задание
Задание с проверкой.
Задание с подсказками
Задание с указанием.
Решение
Указание и ответ.

ИЗМЕРЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

Площадь

Площадь многоугольника

4-61    

Площадь многоугольников на решетке

Построение многоугольников заданной площади на квадратной решетке.

4-62    

Деление площади квадрата на равные части

Три версии задачи на деление квадрата на три части равной площади.

Задание
Задание с проверкой.
Задание с подсказками
Задание с анализом и указанием.
Решение
Анализ и пошаговое решение задачи.

4-63    

Задача на сравнение площадей

Задача на доказательство равенства площадей многоугольников.

4-64    

Задача на метод площадей

Задача на доказательство при помощи метода площадей с системой подсказок.

Длина окружности и площадь круга

4-65    

Как вычислить площадь круга

Иллюстрация к выводу формулы площади круга.

ВЕКТОРЫ И КООРДИНАТЫ

Декартовы координаты на плоскости

Координатная плоскость

4-66    

Определение координат. Начало, оси

Упражнения на определение координат точек и построение точек с заданными координатами.

Демонстрация
Динамическая модель, объясняющая определение координат точки
Задание 1
Поместить точку в невидимое начало координат.
Задание 2
Определить вид фигуры по координатам вершин.
Задание 3
Определить координаты данных точек.
Задание 4
По двум данным на координатной плоскости вершинам квадрата найти две остальные вершины.
Задание 5
По двум данным на координатной плоскости вершинам прямоугольного треугольника найти третью вершину.

4-67    

Прогулки по решетке

Занимательные практические задания с использованием координат
на размещение точек на квадратной решетке и перемещения по ней.

Задание 1
Задача на нахождение пути на решётке, проходящего через заданные точки.
Задание 2
Вычисление координат заданных на решётке точек с помощью управляемой подвижной точки.
Задание 3
Расстановка точек в соответствии с заданными координатами.

4-68    

Узоры на решетке

Раскраски решетки, зависящие от координат ее клеток.

Задание 1
Задача-исследование на нахождение неизвестной числовой функции f (x, y) от координат на решётке
по соответствующей ей раскраске.
Задание 2
Задача-исследование на нахождение функции по раскраске; функция зависит от суммы координат.
Задание 3
Задача-исследование на нахождение функции по раскраске; функция зависит от суммы координат и параметра.
Задание 4
Задача-исследование на нахождение функции по раскраске; функция зависит от произведения координат.
Задание 5
Задача-исследование на нахождение функции по раскраске; функция зависит от произведения координат и параметра.

Рисование по координатам

Рисование соединением точек целочисленной решетки с заданными координатами.

4-69-1    

Поиск координат

Определение координат узлов заданного изображения

Задание 1
Задача на определение координат вершин многоугольника (многоугольник – «ёлка»).
Задание 2
Задача на определение координат вершин многоугольника (многоугольник – «собака»).
Задание 3
Задача на определение координат вершин многоугольника (многоугольник – «страус»).
Задание 4
Задача на определение координат вершин многоугольника (многоугольник – «лампа»).
Задание 5
Задача на определение координат вершин многоугольника (многоугольник – «лиса»).

4-69-2    

Рисование по координатам

Построение изображения по координатам узлов

Задание 1
Задача на построение многоугольника по координатам вершин (многоугольник – «робот»).
Задание 2
Задача на построение многоугольника по координатам вершин (многоугольник – «верблюд»).
Задание 3
Задача на построение многоугольника по координатам вершин (многоугольник – «кит»).
Задание 4
Задача на построение многоугольника по координатам вершин (многоугольник – «собака»).
Задание 5
Задача на построение многоугольника по координатам вершин (многоугольник – «страус»).
Задание 6
Задача на построение многоугольника по координатам вершин (многоугольник – «лампа»).
Задание 7
Задача на построение многоугольника по координатам вершин (многоугольник – «лиса»).

4-69-3    

Рисование по координатам. Игра

Игра для двоих: один сообщает координаты узлов своего изображения, другой восстанавливает по ним изображение.

Векторы

Теорема о разложении векторов

4-70    

Разложение векторов по двум неколлинеарным векторам

Набор проверяемых заданий на разложение линейных комбинаций двух векторов
по паре заданных неколлинеарных векторов.

4-71    

Векторы и центр масс многоугольника

Серия заданий на разложение векторов и центр точечных масс.

3 точки на прямой (1)
Векторное условие коллинеарности трёх точек. Частные случаи.
3 точки на прямой (2)
Векторное условие коллинеарности трёх точек. Общий случай.
Центроид треугольника
Векторная формула для центроида треугольника.
Точка в треугольнике
Представление произвольной точки плоскости в виде центра трёх масс в вершинах данного треугольника.
Центроид четырёхугольника
Векторная формула для центроида четырёхугольника.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Движения

Виды движений

4-72    

Как возникают движения?

Движения, связанные с некоторыми видами фигур. Экспериментальные исследования.

Задание 1
Исследовательское задание на центральную симметрию и середину отрезка.
Задание 2
Исследовательское задание на поворот, связанный с равносторонним треугольником.
Задание 3
Исследовательское задание на осевую симметрию, связанную с ромбом.
Задание 4
Исследовательское задание на поворотную гомотетию, связанную с квадратом.

4-73    

Какое это преобразование?

Отыскание поворота, переводящего одну данную фигуру в другую.

Задание 1
Задача на построение угла поворота.
Задание 2
Задача на построение центра поворота.

Применение преобразований к решению задач на построение

Преобразования и геометрические места точек

4-74    

Соединить стороны угла отрезком с данной серединой

Задача на построение с применением центральной симметрии.

Задание
Задание с проверкой.
Задание с подсказками
Эксперимент-подсказка.

4-75    

Пересечь две окружности одной прямой по равным хордам

Задача на построение с применением центральной симметрии.

4-76    

Квадрат с диагональю на данной прямой и вершинами на данных окружностях

Задача на построение с применением осевой симметрии.

Задание
Задание с проверкой.
Задание с подсказками
Задание с экспериментом-подсказкой.
Решение
Пошаговое решение.

Использование симметрии искомой фигуры

4-77    

Угол с заданной биссектрисой и точками на сторонах

Три версии задачи на построение с использованием симметрии.

Задание
Задание с проверкой.
Задание с подсказками
Версия с подсказкой.
Решение
Демонстрация решения.

4-78    

Угол с заданной стороной и точками на другой стороне и биссектрисе

Две версии задачи на построение с использованием симметрии.

Задание
Задание с проверкой.
Задание с подсказками
Версия с подсказками и пошаговым решением.

4-79    

Три равноотстоящие прямые

Провести через три точки параллельные прямые, одна из которых равноудалена от двух других (две версии).

Задание
Задание с проверкой.
Задание с подсказками
Версия с подсказкой.

Восстановление многоугольника

4-80    

Треугольник, четырёхугольник по серединам их сторон

Задания на построение многоугольника по серединам его сторон с исследованием.

Треугольник по серединам сторон
Задание с проверкой
Четырёхугольник по серединам сторон (исследование)
Задание на исследование возможности построения четырёхугольника по серединам его сторон.
Четырёхугольник по серединам сторон (задание).
Отыскание разрешимого случая.

4-81    

n-угольник (n > 4) по серединам сторон

Исследование возможности построения многоугольника по серединам его сторон с помощью центральной симметрии.

n = 5
Случай пятиугольника.
n = 6
Случай шестиугольника.
Исследование
Исследование возможности построения многоугольника по серединам его сторон при любом n.

Треугольник по центрам правильных треугольников на его сторонах и теорема Наполеона

Исследование возможности построения треугольника по центрам правильных треугольников, построенных на его сторонах, и вывод из него теоремы Наполеона.

4-82-1    

Треугольник по центрам правильных треугольников на его сторонах

Задание на самостоятельное исследование построимости треугольника
по центрам правильных треугольников на его сторонах.

4-82-2    

Треугольник по центрам правильных треугольников на его сторонах и теорема Наполеона. Решение

Готовая модель для исследования разрешимости задачи. Пояснения и вывод – теорема Наполеона.

Исследование
Модель для исследования задачи на построение.
Пояснение
Объяснение результатов эксперимента с помощью композиции поворотов
и подсказка к ответу на вопрос о разрешимости.
Теорема Наполеона
Формулировка теоремы Наполеона и динамическая иллюстрация к ней.

4-83    

Треугольник по центрам квадратов на его сторонах

Построение треугольника по центрам квадратов, построенных на его сторонах, и исследование числа решений.

Задание
Задание на построение с проверкой ответа.
Решение
Модель для экспериментального исследования задачи и демонстрации построения.

4-84    

Четырёхугольник по центрам квадратов на его сторонах. Исследование

Построение четырёхугольника по центрам квадратов, построенных на его сторонах, и исследование числа решений.

Задание
Модель для самостоятельного экспериментального исследования задачи.
Исследование
Готовая модель для демонстрации исследования задачи.
Теорема
Теорема о расположении центров квадратов, построенных на сторонах четырёхугольника; дополнительный вопрос.

Преобразования в задачах на экстремум

Кратчайшие пути

4-85    

Задача Герона

Задача Герона о кратчайшем пути. Кратчайший путь как траектория бильярдного шара.

Задание
Задача на построение бильярдной траектории.
Задание с подсказками и решением
Бильярдная траектория как кратчайший путь.

4-86    

Задача Герона для угла

Построение пути наименьшей длины между точками внутри угла, заходящего на его стороны.

Задание
Задание с проверкой.
Исследование
Динамическая модель для исследования задачи Герона для угла.
Решение
Пошаговое построение кратчайшего пути.

4-87    

Треугольник минимального периметра, вписанный в данный треугольник

Модель для исследования и решения задачи Фаньяно о треугольнике минимального периметра,
вписанном в остроугольный треугольник.

Задание
Задача на построение с проверкой ответа и моделью для исследования.
Решение
Модель с подсказками для поиска решения, ответом и пояснениями.

5. СТЕРЕОМЕТРИЯ

К началу страницы

ПОСТРОЕНИЯ НА 3D МОДЕЛЯХ

Заготовки для создания моделей пространственных фигур

Вращающаяся система координат

5-01    

Шаблон для построения 3D моделей

Инструмент для создания моделей вращающихся пространственных фигур.

Модели простейших геометрических тел

5-02    

Куб

Модель вращающегося куба с инструментарием для дополнительных построений.

5-03    

Прямоугольный параллелепипед

Модель вращающегося параллелепипеда с инструментарием для дополнительных построений.

5-04    

Треугольная призма

Модель вращающейся призмы с инструментарием для дополнительных построений.

5-05    

Треугольная пирамида

Модель вращающейся пирамиды с инструментарием для дополнительных построений.

Задания на построение

«Три вида». Задания на развитие пространственного воображения

Проволочные головоломки

Определение вида пространственной фигуры по ее трем проекциям.

5-06-0    

Проволочная головоломка. Пример

Пример, поясняющий задания на проволочные головоломки.

5-06-1    

Проволочная головоломка (1)

Проволочная головоломка с самопроверкой.

5-06-2    

Проволочная головоломка (2)

Проволочная головоломка с самопроверкой.

5-06-3    

Проволочная головоломка (3)

Проволочная головоломка с самопроверкой.

5-06-4    

Проволочная головоломка (4)

Проволочная головоломка с самопроверкой.

5-06-5    

Проволочная головоломка (5)

Проволочная головоломка с самопроверкой.

5-06-6    

Проволочная головоломка (6)

Проволочная головоломка с самопроверкой.

5-06-7    

Проволочная головоломка (7)

Проволочная головоломка с самопроверкой.

5-06-8    

Проволочная головоломка (8)

Проволочная головоломка с самопроверкой.

5-06-9    

Проволочная головоломка (9)

Проволочная головоломка с самопроверкой.

5-06-10    

Ответы к проволочным головоломкам

Ответы к проволочным головоломкам 1-9.

Задачи на сечения

Построение сечений параллелепипеда

Построение сечений параллелепипеда по трем точкам с использованием параллельности.

5-07-1    

Построение сечений параллелепипеда (1)

Задача на построение сечения параллелепипеда по трём точкам.

Задание
Задача на построение сечения с проверкой ответа.
Решение
Пошаговая демонстрация построения.

5-07-2    

Построение сечений параллелепипеда (2)

Задача на построение сечения параллелепипеда по трём точкам.

Задание
Задача на построение сечения с проверкой ответа.
Решение
Пошаговая демонстрация построения.

5-07-3    

Построение сечений параллелепипеда (3)

Задача на построение сечения параллелепипеда по трём точкам.

Задание
Задача на построение сечения с проверкой ответа.
Решение
Пошаговая демонстрация построения.

5-07-4    

Построение сечений параллелепипеда (4)

Три задачи на построение сечения параллелепипеда по трём точкам.

Задание
Три задачи на построение сечений с проверкой ответа.
Решение
Пошаговая демонстрация построений.

Построение сечений методом следов

Построение сечений многогранников по трем точкам методом следов.

5-08-1    

Построение сечений методом следов (1)

Задача на построение сечения куба по трём точкам (точки на рёбрах).

Задание
Задача на построение сечения с проверкой ответа.
Решение
Пошаговая демонстрация построения.

5-08-2    

Построение сечений методом следов (2)

Задача на построение сечения куба по трём точкам (точки на гранях).

Задание
Задача на построение сечения с проверкой ответа.
Решение
Пошаговая демонстрация построения.

5-08-3    

Построение сечений методом следов (3)

Задача на построение сечения четырёхугольной пирамиды по трём точкам.

Задание
Задача на построение сечения с проверкой ответа.
Решение
Пошаговая демонстрация построения.

6. ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА

К началу страницы

ОПИСАТЕЛЬНАЯ СТАТИСТИКА

Статистические данные

Статистические характеристики выборки

6-01    

Медиана и среднее значение выборки

Модель для изучения числовых характеристик выборки – медианы и среднего арифметического.

Задание 1
Задача-исследование с вопросами к учащемуся.
Задание 2
Задача на построение графика зависимости среднего арифметического и медианы
от одного из значений, полученных в выборке.

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ВЕРОЯТНОСТЬ

Дискретные модели

Простейшие случайные опыты

6-02    

Монета

Простейшая модель с подбрасыванием симметричной монеты.

Опыт с монетой
Демонстрация случайного опыта с монетой.
Частота орлов и решек
Модель для демонстрации факта стабилизации частот.
Частота и вероятность
Модель для исследования скорости, с которой частота приближается к вероятности 1/2.
Отклонение частоты от вероятности
Модель для исследования отклонения частоты от вероятности (нормальный закон распределения).

6-03    

Кнопка

Простейшая модель с подбрасыванием несимметричной кнопки.

Опыт с кнопкой
Демонстрация случайного опыта с кнопкой.
Частота исходов
Модель для демонстрации факта стабилизации частот.
«Конструктор кнопок»
Модель для демонстрации поведения частот у разных кнопок.

6-04    

Кубик

Простейшая модель с подбрасыванием симметричного кубика.

Опыт с кубиком
Демонстрация случайного опыта с кубиком.
Случайные числа
Модель для демонстрации случайности.
Элементарные исходы
Модель для демонстрации равновозможности исходов.
Случайные события
Модель для демонстрации частот различных случайных событий.
Частота и вероятность
Модель для исследования скорости, с которой частота исходов приближается к вероятности 1/6.

Комбинированные случайные опыты

6-05    

Две монеты

Модель с подбрасыванием двух симметричных монет.

Опыт с двумя монетами
Демонстрация случайного опыта с двумя монетами.
На разные стороны или на одну?
Задача на вычисление вероятностей случайных событий
«Монеты упали на разные стороны» и «Монеты упали на одну сторону».
Случайные величины
Задача на нахождение закона распределения случайных величин
«Количество орлов» и «Количество решек» для 2-х монет.
10 монет
Задача на нахождение закона распределения случайной величины
«Количество орлов» для 10-ти монет.

6-06    

Две кнопки

Модель с подбрасыванием двух несимметричных кнопок.

Опыт с двумя кнопками
Демонстрация случайного опыта с двумя кнопками.
На разные стороны или на одну?
Задача на вычисление вероятностей случайных событий
«Кнопки упали на разные стороны» и «Кнопки упали на одну сторону».
Случайные величины
Задача на нахождение закона распределения случайных величин
«Количество кнопок, упавших остриём вниз» и «Количество кнопок, упавших остриём вверх» для 2-х кнопок.
5 кнопок
Задача на нахождение закона распределения случайных величин
«Количество кнопок, упавших остриём вниз» и «Количество кнопок, упавших остриём вверх» для 5-ти кнопок.

6-07    

Два кубика

Модель с подбрасыванием двух симметричных кубиков.

Опыт с двумя кубиками
Демонстрация случайного опыта с двумя кубиками.
Одинаковые или разные?
Задача на вычисление вероятности случайного события
«На кубиках выпадут одинаковые числа».
Сумма очков
Задача на нахождение закона распределения случайной величины
«Сумма очков».
Минимум и максимум
Задача на нахождение закона распределения случайных величин
«Минимальное из двух чисел» и «Максимальное из двух чисел».

6-08    

Выбор с возвращением и без

Модель популярной в теории вероятностей урновой схемы.
Демонстрирует различие двух схем выбора: с возвращением и без возвращения.

Выбор двух шаров
Демонстрация двух схем выбора: с возвращением и без возвращения.
Разного цвета
Задача на вычисление вероятности случайного события
«Шары будут разного цвета» в двух схемах выбора.
Нет красных (2)
Задача на вычисление вероятности случайного события
«Среди 2-х вынутых шаров нет красных» в двух схемах выбора.
Нет красных (3)
Задача на вычисление вероятности случайного события
«Среди 3-х вынутых шаров нет красных» в двух схемах выбора.
Нет красных (4)
Задача на вычисление вероятности случайного события
«Среди 4-х вынутых шаров нет красных» в двух схемах выбора.

6-09    

Колода карт

Модель случайного выбора без возвращения демонстрируется на примере раздачи игральных карт для разных игр.

Опыт с картами
Демонстрация случайного выбора 10-ти карт из 32-х.
Тузов поровну
Задача на вычисление вероятности случайного события «Тузов будет поровну».
Игра в преферанс
Задача на нахождение закона распределения случайной величины «Количество тузов».
Игра в «дурака»
Задача на нахождение закона распределения случайной величины «Количество козырей».

Задачи с дискретными моделями

6-10    

Яблоки и груша

Модель случайного выбора без возвращения применяется для ситуации:
«В корзине лежит N фруктов: 1 груша и (N - 1) яблок. Из неё наугад извлекают фрукт».

Корзина с фруктами
Демонстрация случайного опыта с фруктами.
Оба фрукта – яблоки
Задача на вычисление вероятности случайного события «Оба фрукта яблоки» в опыте «2 из 3».
Все фрукты – яблоки
Задача на вычисление вероятности случайного события «Все фрукты яблоки» в опыте «9 из 10».
Число яблок и число груш
Задача на нахождение закона распределения случайных величин «Число яблок» и «Число груш».

6-11    

Красные и зелёные

Модель случайного выбора без возвращения применяется в ситуации:
«В ящике лежит 2N шаров: N красных и N зелёных. Из неё наугад извлекают N шаров».

Опыт с шарами
Демонстрация случайного опыта с шарами.
Одного цвета или разного
Задача на вычисление вероятностей случайных событий «Шары будут одного цвета» и «Шары будут разного цвета».
Число красных шаров
Задача на нахождение закона распределения случайной величины «Число красных шаров» в опыте «2 из 4».
5 + 5 = 10
Задача на нахождение закона распределения случайной величины «Число красных шаров» в опыте «5 из 10».

6-12    

Варины варежки

Модель случайного выбора без возвращения применяется в ситуации:
«Из двух одинаковых пар варежек наугад выбирают две варежки».
Затем аналогичная ситуация повторяется уже для трёх варежек (одна из них потеряна на прогулке).

Опыт с варежками
Демонстрация случайного опыта с варежками.
На одну руку или на разные?
Задача на вычисление вероятностей случайных событий «Варежки на одну руку» и «Варежки на разные руки».
Одна варежка потерялась
Повторение предыдущей задачи в ситуации, когда одна варежка потерялась.

6-13    

Ботинки в шкафу

Модель случайного выбора без возвращения применяется в ситуации:
«В шкафу находятся 5 пар ботинок разных размеров. Из них наугад выбирают 4 ботинка».

Опыт с ботинками
Задача на вычисление вероятности случайного события «Среди вынутых ботинок есть парные».
Сколько ботинок нужно вытащить?
Сколько ботинок нужно вытащить, чтобы вероятность получения хотя бы одной пары была больше 1/2?

6-14    

Задача Эйлера о шляпах

Модель случайного выбора без возвращения применяется к задаче Эйлера о шляпах:
«Три господина пришли в ресторан и сдали свои шляпы в гардероб. Расходясь по домам, они разобрали их наугад.
Какова вероятность, что все ушли в своих шляпах?».

Опыт со шляпами
Демонстрация случайного опыта со шляпами.
В своей шляпе
Задача на вычисление вероятностей случайных событий «Первый (второй, третий) уйдёт в своей шляпе».
Все в своих
Задача на вычисление вероятности случайного события «Все уйдут в своих шляпах».
Все в чужих
Задача на вычисление вероятности случайного события «Все уйдут в чужих шляпах».
Вероятность беспорядка и число e
Задача на исследование частоты беспорядков при неограниченном увеличении числа человек.

Случайные последовательности и случайные блуждания

6-15    

До первого орла

Модель для демонстрации исследования траекторий случайных процессов с дискретным временем.
Рассматривается испытание: бросаем монету до появления первого орла.

Опыты с монетой
Демонстрация опыта с монетой до заданного момента остановки.
До первого орла
Задача на вычисление математического ожидания случайной величины «Число бросаний до первого орла».
До двух орлов подряд
Задача на вычисление математического ожидания случайной величины «Число бросаний до двух орлов (подряд)».
До орла и решки
Задача на вычисление математического ожидания случайной величины «Число бросаний до орла и решки (подряд)».

6-16    

До первой шестёрки

Модель для демонстрации исследования траекторий случайных процессов с дискретным временем.
Рассматривается испытание: бросаем игральный кубик до появления первой шестёрки.

Опыты с кубиками
Демонстрация опытов с кубиком и двумя кубиками до заданного момента остановки.
До шестёрки
Задача на вычисление математического ожидания случайной величины «Число бросаний до первой 6».
До двух шестёрок
Задача на вычисление математического ожидания случайной величины «Число бросаний до первых двух 6».

6-17    

Биатлон

Независимые испытания (схема Бернулли) до момента остановки.

Стрельба в биатлоне
Демонстрация опыта со стрельбой до трёх попаданий.
Без штрафных кругов
Задача на вычисление вероятности случайного события «Биатлонист отстреляется без штрафных кругов».
Среднее число кругов
Задача на вычисление математического ожидания случайной величины «Число штрафных кругов».
Произвольная вероятность
Те же задачи для произвольной вероятности попадания p.

6-18    

Задача о разорении

Модель классической задачи о разорении.

Игра с монетой
Демонстрация опыта с игрой в «орлянку».
Вероятность выигрыша
Задача на вычисление вероятностей выигрыша для каждого из игроков.
Средний выигрыш
Задача на вычисление математического ожидания суммы выигрыша для каждого из игроков.
Средняя продолжительность игры
Задача на вычисление математического ожидания продолжительности игры.

6-19    

Случайное блуждание на прямой

Классическая модель случайного блуждания на прямой (симметричного и несимметричного).

Частица на прямой
Демонстрация случайного блуждания на прямой.
x(t)
Построение графика координаты случайной частицы x(t).
Возвратность
Модель для экспериментального исследования возвратности случайного блуждания на прямой.
Упражнение 1
Задача на вычисление математического ожидания случайной величины
«Квадрат расстояния до начала координат через t шагов».
Упражнение 2
Задача на вычисление математического ожидания случайной величины
«Момент первого выхода на расстояние R от начала координат».
Закон арксинуса
Модель для демонстрации закона арксинуса.
Несимметричное блуждание
Демонстрация несимметричного случайного блуждания на прямой.

6-20    

Случайное блуждание на плоскости

Классическая модель случайного блуждания на плоскости (симметричного и несимметричного).

Частица на плоскости
Демонстрация случайного блуждания на плоскости.
x(t), y(t), r(t)
Построение графиков координат случайной частицы x(t), y(t) и расстояния до начала координат r(t).
Возвратность
Модель для экспериментального исследования возвратности случайного блуждания на плоскости.
Упражнение 1
Задача на вычисление математического ожидания случайной величины
«Квадрат расстояния до начала координат через t шагов».
Упражнение 2
Задача на экспериментальное исследование случайной величины
«Момент первого выхода на расстояние R от начала координат».
Несимметричное блуждание
Демонстрация несимметричного случайного блуждания на плоскости.

6-21    

Задача о разборчивой невесте

Модель посвящена проблеме оптимального момента остановки, известной как «задача о разборчивой невесте».
С помощью плеера случайных испытаний моделируется ситуация выбора,
рассматривается оптимальная стратегия выбора и её асимптотика при N → ∞.

Игра
Демонстрация опыта с выбором жениха.
Поиск стратегии
Модель для экспериментального поиска оптимальной стратегии.
Оптимальная стратегия
Модель для демонстрации оптимальной стратегии.

Игры с вероятностью

6-22    

Игра с монетой (1)

Модель для демонстрации неочевидности понятия равновозможности.

Игра
Демонстрация игры с монетой (до двух заданных исходов).
Сравнение стратегий
Модель для исследования и сравнения стратегий.

6-23    

Игра с монетой (2)

Модель для демонстрации неочевидности понятия транзитивности.

Игра
Демонстрация игры с монетой (до трёх заданных исходов).
Сравнение стратегий
Модель для исследования и сравнения стратегий.

6-24    

Нетранзитивные кубики

Модель вероятностной игры, основанной на парадоксе нетранзитивности.

Игра
Демонстрация игры с тремя кубиками
1 vs 2
Модель для сравнения 1-го и 2-го кубиков.
2 vs 3
Модель для сравнения 2-го и 3-го кубиков.
1 vs 3
Модель для сравнения 1-го и 3-го кубиков.
Парадокс нетранзитивности
Модель для объяснения парадокса нетранзитивности.

6-25    

Две козы и автомобиль

Вероятностная игра с парадоксом выбора оптимальной стратегии.

Игра
Демонстрация игры «Две козы и автомобиль».
Подсказка
Модель для поиска оптимальной стратегии.
Оптимальная стратегия
Модель для демонстрации оптимальной стратегии.

Непрерывные модели

Геометрическая вероятность

6-26    

Случайная точка на отрезке

Модель для иллюстрации геометрического определения вероятности.

Случайная точка
Демонстрация опыта с выбором случайной точки на отрезке.
Координата случайной точки
Демонстрация случайности координаты.
Закон распределения
Построение гистограммы равномерного распределения на отрезке.

6-27    

Метод Монте-Карло

Демонстрация использования метода статистических испытаний для вычисления площади плоских фигур.

Частота и площадь
Демонстрация опыта с выбором случайной точки в квадрате и задача на вычисление площадей круга и трапеции.
Три круга
Вычисление площади пересечения трёх кругов методом Монте-Карло.
Два многоугольника
Вычисление площади пересечения двух многоугольников методом Монте-Карло.
Площадь между графиками
Вычисление площади между двумя графиками методом Монте-Карло.

6-28    

Стрельба по мишени

Модель со случайной точкой в круге.

Случайный выстрел
Демонстрация случайного опыта с выстрелом в мишень.
Закон распределения
Задача на нахождение закона распределения случайной величины «Число выбитых очков» для круглой мишени.
Квадратная мишень
Задача на нахождение закона распределения случайной величины «Число выбитых очков» для квадратной мишени.
Нормальный закон распределения
Демонстрация двумерного нормального распределения.

6-29    

Рулетка

Модель случайного эксперимента с рулеткой, позволяющая наблюдать изменчивость частот
и их стабилизацию при увеличении числа опытов.

Опыт с рулеткой
Демонстрация случайного опыта с рулеткой.
Задание 1
Задача на определение конфигурации рулетки по поведению частот (число секторов известно).
Задание 2
Задача на определение конфигурации рулетки по поведению частот (число секторов не известно).

6-30    

Разламывание стержня

Модель для задачи на геометрическую вероятность. Стержень случайным образом ломают на три части.
С какой вероятностью из них можно составить треугольник?

Опыт с разламыванием стержня
Демонстрация случайного опыта с разламыванием стержня.
Задание
Задача на вычисление вероятности случайного события «Из полученных частей можно сложить треугольник».
Подсказка
Подсказка к предыдущей задаче на вычисление вероятности.

6-31    

Игла Бюффона

Демонстрация опыта Бюффона с иглой для определения числа «пи» и его обобщения.

Модель опыта
Демонстрация опыта Бюффона с иглой
Число «пи»
Экспериментальное вычисление числа «пи» с помощью опыта Бюффона.
Длинная игла
Демонстрация опыта Бюффона с «длинной» иглой
(замена вероятности на математическое ожидание числа пересечений).
Ломаная
Демонстрация опыта Бюффона с произвольной ломаной.
Многоугольник
Демонстрация опыта Бюффона с произвольным многоугольником.

6-32    

Парадокс Бертрана

Демонстрация парадокса Бертрана, основанного на неопределенности «бытового» понятия случайности.

Постановка задачи
Демонстрация опыта с выбором случайной хорды.
Решение 1
Задача на вычисление вероятности при первом способе выбора случайной хорды.
Решение 2
Задача на вычисление вероятности при втором способе выбора случайной хорды.
Решение 3
Задача на вычисление вероятности при третьем способе выбора случайной хорды.

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Случайные величины и их распределения

Закон распределения случайной величины

6-33    

Закон распределения дискретной случайной величины

Модель иллюстрирует понятие закона распределения и функции распределения дискретной случайной величины.
Предлагаются для решения 3 задачи.

Закон распределения
Динамическая модель для построения закона распределения дискретной случайной величины.
Задания
Три задачи на построение законов распределения дискретных случайных величин.
Частота и вероятность
Моделирование дискретной случайной величины с заданным законом распределения.
Функция распределения
Динамическая модель для построения функции распределения дискретной случайной величины.

6-34    

Закон распределения непрерывной случайной величины

Модель иллюстрирует понятие плотности распределения и функции распределения непрерывной случайной величины.
Предлагаются для решения 3 задачи.

Плотность распределения
Динамическая модель для построения плотности распределения дискретной случайной величины.
Задания
Три задачи на построение плотностей распределения непрерывных случайных величин.
Гистограмма частот
Моделирование непрерывной случайной величины с заданным законом распределения.
Функция распределения
Динамическая модель для построения функции распределения непрерывной случайной величины.

Стандартные распределения и связанные с ними задачи

6-35    

Испытания Бернулли

В модели рассматривается схема испытаний Бернулли. Изучаются свойства биномиального распределения,
демонстрируются предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуассона.

Успех и неудача
Динамическая многопараметрическая модель для исследования биномиального распределения.
Биномиальное распределение
Задача на вычисление вероятности случайного события «В N испытаниях произойдёт x успехов».
Математическое ожидание и дисперсия
Задача на вычисление математического ожидания и дисперсии случайной величины «Число успехов в N испытаниях».
Теорема Муавра-Лапласа
Динамическая многопараметрическая модель для демонстрации теоремы Муавра-Лапласа.
Теорема Пуассона
Динамическая многопараметрическая модель для демонстрации теоремы Пуассона.

6-36    

Гипергеометрическое распределение

В модели рассматривается гипергеометрический закон распределения, изучаются его свойства.

Опыт с шарами
Динамическая многопараметрическая модель для исследования гипергеометрического распределения.
Гипергеометрическое распределение
Задача на вычисление вероятности случайного события «Среди N вынутых шаров окажется x чёрных».
Математическое ожидание и дисперсия
Задача на вычисление математического ожидания и дисперсии
случайной величины «Число чёрных шаров среди N вынутых».

6-37    

Спортлото

Рассматриваются вероятности и случайные величины, возникающие в лотерее «Спортлото».
С помощью плеера случайных испытаний моделируется сама игра. Предлагаются для решения 2 задачи.

Тираж «Спортлото»
Демонстрация тиража лотереи «Спортлото 6 из 49».
Вероятности угадывания
Задача на вычисление вероятностей случайных событий «Угадать x номеров», x = 0..6.
Средний выигрыш
Задача на вычисление математического ожидания суммы выигрыша в лотерее «Спортлото 6 из 49».
(6 из 49) vs (5 из 36)
Динамическая модель для сравнения двух схем лотереи «Спортлото»: «6 из 49» и «5 из 36».

6-38    

Вероятности в игре в «дурака»

Рассматриваются вероятности и случайные величины, возникающие в карточной игре в «дурака».
С помощью плеера случайных испытаний моделируется раздача карт в этой игре. Предлагаются для решения 3 задачи.

Раздача карт
Демонстрация случайного опыта с раздачей карт в игре в «дурака».
Тузы
Задача на вычисление вероятностей случайных событий «Получить x тузов», x = 0..4.
Козыри
Задача на вычисление вероятностей случайных событий «Получить x козырей», x = 0..6.
Масти
Задача на вычисление вероятностей случайных событий «Получить x разных мастей», x = 1..4.

Предельные теоремы теории вероятностей

Закон больших чисел

6-39    

Закон больших чисел

Модель иллюстрирует действие закона больших чисел и предельной теоремы Муавра-Лапласа.

ЗБЧ
Динамическая модель для демонстрации закона больших чисел в схеме Бернулли.
Скорость сходимости
Динамическая модель для исследования скорости, с которой частота приближается к вероятности p.
Теорема Муавра-Лапласа
Динамическая модель для исследования отклонения частоты от вероятности и демонстрации теоремы Муавра-Лапласа.

© ООО «1С-Паблишинг», 2007–2020
© ООО «Виртуальная лаборатория», 2009–2020
К началу страницы Пишите нам