ИНТЕРАКТИВНЫЕ МОДЕЛИ В ОБУЧЕНИИ

Интерактивная энциклопедия с моделями МК

Правильные многогранники

Говорят, что многогранник правильный, если

1. он выпуклый,
2. все его грани – равные правильные многогранники,
3. в каждой вершине сходится одинаковое число рёбер.

Правильные многогранники максимально симметричны в том смысле, что каждый из них можно совместить движением с самим собой так, чтобы любая заданная его вершина перешла в любую вершину, и то же самое верно для любых двух ребер и для любых двух граней. Более того, если взять любую вершину, любое выходящее из неё ребро и любую грань, примыкающую к этому ребру, и вторую аналогичную тройку вершина-ребро-грань, то существует самосовмещение многогранника, переводящее первую тройку во вторую. Это свойство также используют как определение правильного многогранника.

С точностью до подобия существует всего пять типов правильных многогранников: тетраэдр, куб (или гексаэдр), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. На русский эти термины греческого происхождения можно перевести как четырех-, шести-, восьми-, двенадцати- и двадцатигранник.

Считается, что первое полное описание правильных многогранников дал Теэтет Афинский, современник Платона. Сам Платон писал о них в диалоге Тимей, связывая их с природными стихиями, и впоследствии за ними закрепилось название платоновы тела.

Модели и параметры правильных многогранников

Полуправильные многогранники

Полуправильным многогранником называется выпуклый многогранник, удовлетворяющий двум условиям:

1. все его грани – правильные многоугольники, причем среди них встречаются многоугольники не менее чем двух видов;
2. для любых двух вершин имеется движение, переводящее многогранник в себя, а одну из этих вершин в другую.

Среди полуправильных многогранников выделяют:

• 13 архимедовых тел, указанных, согласно Паппу, Архимедом;
• две бесконечные серии многогранников:
  • правильные призмы, у которых все ребра равны;
  • правильные антипризмы с равными ребрами.

Строго говоря, из первой серии надо исключить четырехугольную призму (куб),
а из второй – треугольную антипризму (октаэдр): у обоих этих многогранников
равны все грани; они относятся к правильным многогранникам.

Модели и параметры архимедовых тел

Интерактивная модель		Развёртка	Граней		Рёбер	Вершин
Усечённый тетраэдр			8	4 треугольника 4 шестиугольника	18	12
Кубооктаэдр			14	8 треугольников 6 квадратов	24	12
Усечённый куб			14	8 треугольников 6 восьмиугольников	36	24
Усечённый октаэдр			14	6 квадратов 8 шестиугольников	36	24
Ромбокубооктаэдр			26	8 треугольников 18 квадратов	48	24
Усечённый кубооктаэдр			26	12 квадратов 8 шестиугольников 6 восьмиугольников	72	48
Курносый куб			38	32 треугольника 6 квадратов	60	24
Икосододекаэдр			32	20 треугольников 12 пятиугольников	60	30
Усечённый додекаэдр			32	20 треугольников 12 десятиугольников	90	60
Усечённый икосаэдр			32	12 пятиугольников 20 шестиугольников	90	60
Ромбоикосододекаэдр			62	20 треугольников 30 квадратов 12 пятиугольников	120	60
Ромбоусечённый икосододекаэдр			62	30 квадратов 20 шестиугольников 12 десятиугольников	180	120
Курносый додекаэдр			92	80 треугольников 12 пятиугольников	150	60

Модели и параметры правильных призм и антипризм

Интерактивная модель		Основания	Боковые грани	Вершин	Рёбер
Правильные призмы		2 правильных n-угольника	n квадратов	2n	3n
Правильные антипризмы		2 правильных n-угольника	2n правильных треугольников	2n	4n