ТИПОЛОГИЯ УЧЕБНЫХ МОДЕЛЕЙ

2. Манипулятивные модели для исследования

При создании статичных чертежей специфические возможности «Математического конструктора» используются лишь в небольшой степени. Мы уже отметили ключевую особенность построений в среде динамической геометрии: любые чертежи в «Математическом конструкторе», в отличие от начерченных на бумаге или на классной доске, относятся не к индивидуальной геометрической фигуре, а к целому непрерывному семейству фигур.

2.1. Совершаем открытие

Ученика вряд ли удивит, что при деформации треугольника луч, построенный как биссектриса его угла, всегда будет делить этот угол пополам – ведь именно так этот луч и построен. Но если провести все три биссектрисы, то мы увидим, что они будут всегда пересекаться в одной точке, хотя эту точку мы и не строили – она возникла «сама». А это уже маленькое геометрическое открытие!

И такое открытие может перевернуть весь ход урока – от заунывного изложения «фактов», пусть даже сопровождаемого пассивным иллюстрированием, вы переходите к активному стимулированию творческого потенциала учеников, развиваете в них навык видеть, формулировать и понимать геометрические закономерности, существенно увеличиваете степень эмоциональной вовлеченности и запоминаемость изучаемого материала. Вот более сложная модель такого типа.

Теорема Наполеона

2.2. Ставим численный эксперимент

Все расстояния, углы и площади в «Математическом конструкторе» легко измеряемы. Это позволяет проводить численные экспериментальные наблюдения, которые могут вести к самостоятельному открытию тех или иных фактов.

Сумма расстояний до сторон равностороннего треугольника

2.3. Открываем «чёрный ящик»

Нравятся ученикам и задания типа «черный ящик», в которых, наблюдая за изменениями одних элементов чертежа при перемещении других элементов, учащиеся должны разгадать скрытый связывающий их «механизм». Например: дана фигура и ее образ при некотором движении. Требуется указать вид движения и его параметры.

Отгадай преобразование

2.4. Выбираем правильный ракурс

Специфическим классом задач, в которых манипулирование компьютерной моделью предоставляет ученику качественно новые возможности, являются стереометрические чертежи. Развитие пространственного воображения – одна из важнейших целей при изучении стереометрии. Нередко в стереометрической задаче достаточно взглянуть на пространственную конструкцию с нужной точки – и принцип решения станет понятен без долгих объяснений.

Сечение тетраэдра

2.5. Ищем экстремум

Изменчивость динамических моделей даёт возможность исследовать различные граничные и экстремальные ситуации. Предположим, например, что вы построили треугольник по трём заданным сторонам. Вы начинаете менять их длины, и треугольник вдруг исчезает. Это естественным образом приводит к важному вопросу об условии, при котором треугольник с заданными длинами сторон существует.

В примере ниже представлена знаменитая задача Герона о кратчайшем пути, который начинается в заданной точке, достигает заданной прямой и заканчивается в другой точке, лежащей по ту же сторону от прямой, что и первая. Студенты должный найти решение с помощью численного эксперимента. В случае затруднения они могут воспользоваться подсказками.

Задача Герона

2.6. Исследуем геометрическое место точек

В «Математическом конструкторе» имеется возможность исследования геометрического места точек. Изучать возможные положения точек можно как при помощи рисования растрового следа точек, так и создавая специальный объект – Геометрическое место точек (ГМТ). Возможность динамического исследования ГМТ открывает новую обширную область для экспериментов и исследования – разнообразные кривые. Преимущества, которые здесь обеспечивает компьютер, очевидны.

Котенок на лестнице

Мы смоделировали известную задачу о «котенке на лестнице». Модель позволяет не только увидеть траекторию точки на отрезке постоянной длины, скользящем своими концами по сторонам прямого угла (эллипс), но и проследить за ее эволюцией при изменении положения точки. Когда точка в середине отрезка эллипс превращается в окружность, что несложно доказать.

2.7. Исследуем графики функций

Очень полезной, особенно в связи с алгебраическими задачами с параметрами, является возможность построения графиков функций, зависящих от параметра, и исследования их при изменении параметра. В качестве примера вернемся к уравнению, рассмотренному в п. 1.3, заменив в нем основания логарифма и степени произвольным числом.

Зависимость числа корней от параметра

Модель позволяет увидеть качественную картину зависимости числа корней от параметра и приближенно определить значения параметра a, при которых оно изменяется. Точное решение – отдельная задача, в которой компьютер выступает лишь подспорьем (и это хорошо!).

	ТИПОЛОГИЯ УЧЕБНЫХ МОДЕЛЕЙ